Question

定义在（-

π

2

，

π

2

）的函数f（x）=e^ax•tanx（a＞0）在x=

π

4

处切线斜率为6e^π．
（1）求a及f（x）单调区间；
（2）当x∈[0，

π

2

）时，f（x）≥mx恒成立，求m的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得a=4，再令导数大于0，得增区间．令导数小于0，得减区间，注意定义域；
（2）当x∈[0，

π

2

）时，f（x）≥mx恒成立，即为e^4x•tanx-mx≥0对x∈[0，

π

2

）恒成立．令g（x）=e^4x•tanx-mx，求出导数，由定义域判断tanx≥0，e^4x≥1，再对m讨论，运用单调性即可得到范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=e^ax•tanx的导数为f′（x）=ae^ax•tanx+e^ax•sec²x，
由f（x）在x=

π

4

处切线斜率为6e^π．即有ae

π

4

a+2e

π

4

a=6e^π．
解得a=4，
即有f（x）=e^4x•tanx的导数为f′（x）=4e^4x•tanx+e^4x•sec²x
=e^4x•（4tanx+sec²x）=e^4x•（4tanx+1+tan²x），
由f′（x）=0可得tanx=-2+

3

或-2-

3

，
而x∈（-

π

2

，

π

2

），tan（-

π

12

）=-2+

3

，tan（-

5π

12

）=-2-

3

，
则有x₁=-

5π

12

，x₂=-

π

12

，
令f′（x）＞0可得-

5π

12

＜x＜-

π

12

，
令f′（x）＜0可得-

π

2

＜x＜-

5π

12

或-

π

12

＜x＜

π

2

，
即有f（x）的增区间为（-

5π

12

，-

π

12

），减区间为（-

π

2

，-

5π

12

），（-

π

12

，

π

2

）；
（2）当x∈[0，

π

2

）时，f（x）≥mx恒成立，
即为e^4x•tanx-mx≥0对x∈[0，

π

2

）恒成立．
令g（x）=e^4x•tanx-mx，g′（x）=4e^4x•tanx+e^4x•sec²x-m
=e^4x•（4tanx+1+tan²x）-m，
当m≤0时，x∈[0，

π

2

）时，tanx≥0，e^4x≥1，
当且仅当x=0时，取得最小值．
即有g′（x）≥0，g（x）在[0，

π

2

）递增，
则g（x）≥g（0）=0恒成立．
当m＞0时，g′（x）≥0不恒成立，即gg（x）在[0，

π

2

）不是递增．
综上可得，m的范围是（-∞，0]．

点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间，主要考查导数的几何意义和不等式的解法，以及函数的单调性的运用，属于中档题．