Question

如图，点A、B为椭圆

x2

4

+

y2

2

=1长轴的两个端点，点M为该椭圆上位于第一象限内的任意一点，直线AM、BM分别与直线l：x=2

2

相交于点P、Q．
（1）若点P、Q关于x轴对称，求点M的坐标；
（2）证明：椭圆右焦点F在以线段PQ为直径的圆上．

Answer 1

分析：（1）求出直线AM的方程，可得P的坐标，同理求出Q的坐标，利用点P、Q关于x轴对称，即可求点M的坐标；
（2）证明椭圆右焦点F在以线段PQ为直径的圆上，只需证明FP⊥FQ，利用向量知识可求．

解答：（1）解：由题意，a=2，∴A（2，0），B（-2，0）．
设点M的坐标为（x₀，y₀），则直线AM的方程为y=

y0

x0-2

(x-2)，
令x=2

2

，则P（2

2

，

y0

x0-2

•(2

2

-2)）．
同理，Q（（2

2

，

y0

x0+2

•(2

2

+2)）．
∵点P、Q关于x轴对称，
∴

y0

x0-2

•(2

2

-2)+

y0

x0+2

•(2

2

+2)=0，
∴x0=

2

，
代入椭圆方程，
∵点M为该椭圆上位于第一象限内的任意一点，
∴y₀=1，
∴点M的坐标为（

2

，1）；
（2）证明：∵c=

4-2

=

2

，
∴F（

2

，0)，
∴

FP

•

FQ

=2+

y0

x0-2

•

y0

x0+2

(2

2

-2)(2

2

+2)=

2(x02+2y02-4)

x02-4

，
∵

x02

4

+

y02

2

=1，
∴x02+2y02=0，
∴

FP

•

FQ

=0，
∴

FP

⊥

FQ

，
∴FP⊥FQ，
∴椭圆右焦点F在以线段PQ为直径的圆上．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．