Question

3．已知f（x）=$\frac{1}{x}$+x，求f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2013）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+…+f（$\frac{1}{2013}$）．

Answer 1

分析 根据解析式可得f（$\frac{1}{x}$）=f（x），在化简所求出的式子，利用等差数列前n项和公式化简即可．

解答 解：由题意得f（x）=$\frac{1}{x}$+x，则f（$\frac{1}{x}$）=x+$\frac{1}{x}$=f（x），
∴f（2）+f（3）+f（4）+f（2013）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）+f（$\frac{1}{2013}$）
=2[f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2013）]
=2[（2+3+4+…+2013）+（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2013}$）]
=2[$\frac{2012（2+2013）}{2}+$（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2013}$）]
=4054180+2（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{2013}$）．

点评 本题考查利用函数的规律性求值，以及等差数列前n项和公式，考查化简、计算能力．