Question

18．设f（$\frac{a+2b}{3}$）=$\frac{f（a）+2f（b）}{3}$且f（1）=1，f（4）=7，则f（2014）=4027．

Answer 1

分析 根据题意和赋值法求出f（2）=3，f（3）=5，归纳出f（n）=2n-1，并利用数学归纳法证明，由此能求出f（2014）的值．

解答 解：由题意得，f（$\frac{a+2b}{3}$）=$\frac{f（a）+2f（b）}{3}$，且f（1）=1，f（4）=7，
∴令a=4，b=1，f（2）=f（$\frac{4+2×1}{3}$）=$\frac{f（4）+2f（1）}{3}$=3，
同理令a=1，b=4，f（3）=$\frac{f（1）+2f（4）}{3}$=5，
则f（1）=1，f（2）=3，f（3）=5，f（4）=7，…，f（n）=2n-1，
证明可用归纳法：①当n=1时，成立；
②假设f（n）=2n-1（n≥2）成立，
则f（n-1）=f（$\frac{n+1+2（n-2）}{3}$）=$\frac{f（n+1）+2f（n-2）}{3}$
=$\frac{1}{3}$[f（n+1）+2f（n-2）]=2（n-1）-1=2n-3，
所以f（n+1）=3f（n-1）-2f（n-2）=3（2n-3）-2[2（n-2）-1]
=6n-9-（4n-10）=2n+1=2（n+1）-1，
综上可得，f（n）=2n-1，
所以f（2014）=2×2014-1=4027，
故答案为：4027．

点评 本题考查函数值的求法，归纳推理，以及数学归纳法的应用，属于中档题．