Question

13．已知一族集合A₁，A₂，…，A_n具有性质：
（1）每个A_i含有30个元素；
（2）对每一对i，j：1≤i＜j≤n，A_i∩A_j都是单元集；
（3）A₁∩A₂∩…∩A_n=∅．
求使这样的集合族存在的最大的正整数n．

Answer 1

分析 反证法证明具有某个相同元素的集合最多只有30个，即可得出结论．

解答 解：可以假设对A_i，A_i+1，…A_i+k，这（k+1）个集合彼此的交集都为同一元素a（即a是它们的公共元素），那么按性质3，当k最大时，a就不能出现在其他集合中．再结合性质2，不在该子族的另外的集合至少有k+1个元素，故有30≥k+1，所以k的最大值为29，也就是含有相同元素的集合至多有30．
为了使n最大，不妨假设这n个集合中恰好有30个含有相同元素的集合，去掉相同元素a后，这30个集合中每个集合都有29个元素，而其他集合中含有的与上述30个集合相同的元素的最多有29×29加上前面的30个，共有841+30=871．
所以使这样的集合族存在的最大的正整数n是871．

点评 本题考查集合的表示，考查集合性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．