Question

1．（1）如果函数g（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1）（a∈R）的图象在点（1，b）处的切线为水平直线，求点（1，b）处的切线方程，并探究g（x）是否存在最小值；
（2）记g（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1）（a∈R），对于任意实数x₁，x₂ ∈（0，1），且x₁≠x₂ ，$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＜g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（2）成立的条件下，是否可能存在实数a，使其满足：对于任意实数x₁，x₂ ∈（1，+∞）且x₁≠x₂ ，$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＜g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）也恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由题意可得x=1处的导数为0，求得a，进而得到b，可得切线方程，再求单调区间，可得极值和最值；
（2）由题意可得函数g（x）在（0，1）为凸函数．求得二阶导数，令导数小于0恒成立，即可得到a的范围；
（3）由题意可得函数g（x）在（1，+∞）为凸函数．得二阶导数，令导数小于0恒成立，结合（2）的范围，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）函数g（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1）的导数为g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（3a+1），
在点（1，b）处的切线为水平直线，即有g′（1）=1+2a-3a-1=-a=0，
即a=0，g（x）=lnx-x+1，∴b=g（1）=0，
即为切线方程为y=0；
∵g′（x）=$\frac{1}{x}$-1，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减．
即有x=1处取得极大值，且为最大值，
则g（x）不存在最小值；
（2）任意实数x₁，x₂ ∈（0，1），
且x₁≠x₂ ，$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＜g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）恒成立，
即有函数g（x）在（0，1）为凸函数．
则g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（3a+1），g′′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a＜0在（0，1）恒成立，
即有2a＜$\frac{1}{{x}^{2}}$，而$\frac{1}{{x}^{2}}$＞1，即有2a≤1，
解得a≤$\frac{1}{2}$；
（3）任意实数x₁，x₂ ∈（1，+∞）
且x₁≠x₂ ，$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{2}$＜g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）也恒成立，
即有函数g（x）在（1，+∞）为凸函数．
则g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（3a+1），g′′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a＜0在（1，+∞）恒成立，
即有2a＜$\frac{1}{{x}^{2}}$，而0＜$\frac{1}{{x}^{2}}$＜1，即有2a≤0，
解得a≤0．
结合a≤$\frac{1}{2}$，可得a≤0．
故存在实数a，且为a≤0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，同时考查运用二阶导数的符号判断凹凸函数，以及不等式恒成立问题的解决，属于中档题．