Question

8．已知幂函数f（x）=x${\;}^{{m}^{2}-m-2}$（m∈Z）是偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论φ（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{b}{xf（x）}$的奇偶性（a，b∈R）．

Answer 1

分析 （1）根据题意，列出关于m的不等式，求出m的值即可；
（2）讨论a、b的值，得出φ（x）的奇偶性．

解答 解：（1）根据题意，得；
m²-m-2＜0，
解得-1＜m＜2，
∴m=0或m=1；
当m=0时，m²-m-2=-2，
当m=1时，m²-m-2=-2，
∴f（x）=x^-2，x≠0；
（2）∵φ（x）=a$\sqrt{f（x）}$-$\frac{b}{xf（x）}$
=a|x^-1|-$\frac{b}{x{•x}^{-2}}$
=$\frac{a}{|x|}$-bx
∴当a=0，b=0时，φ（x）既是奇函数，也是偶函数；
当a=0，b≠0时，φ（x）是奇函数；
当a≠0，b=0时，φ（x）是偶函数；
当a≠0，b≠0时，φ（x）是非奇非偶的函数．

点评 本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．