Question

20．已知：log_ab+3log_ba=$\frac{13}{2}$（a＞b＞1），求$\frac{a+{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 根据条件结合一元二次方程求出a，b的关系即可得到结论．

解答 解：∵log_ab+3log_ba=$\frac{13}{2}$（a＞b＞1），
∴log_ab+3×$\frac{1}{lo{g}_{a}b}$=$\frac{13}{2}$，
设t=log_ab，
∵a＞b＞1，
∴0＜t＜1，
则条件等价为t+$\frac{3}{t}$-$\frac{13}{2}$=0，
即2t²-13t+6=0，（2t-1）（t-6）=0，
解得t=6（舍）或t=$\frac{1}{2}$，
即log_ab=$\frac{1}{2}$，即b=${a}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{a}$，
则$\frac{a+{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{a+{a}^{2}}{{a}^{2}+a}=1$．

点评 本题主要考查对数和指数幂的运算和化简，根据一元二次方程求出a，b的关系是解决本题的关键．