Question

15．已知函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，若f（0）=2010．求f（2014）

Answer 1

分析 根据函数的表达式，得到函数f（x）的取值具备周期性，即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）满足f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
又∵f（0）=2010，
∴f（1）=$\frac{1+f（0）}{1-f（0）}$=$-\frac{2011}{2009}$，
f（2）=$\frac{1+f（1）}{1-f（1）}$=$-\frac{1}{2010}$，
f（3）=$\frac{1+f（2）}{1-f（2）}$=$\frac{2009}{2011}$，
f（4）=$\frac{1+f（3）}{1-f（3）}$=2010，
f（5）=$\frac{1+f（4）}{1-f（4）}$=$-\frac{2011}{2009}$，
…，
故f（x）的取值具备周期性，周期为4，
则f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=$-\frac{1}{2010}$

点评 本题主要考查抽象函数的应用，函数值的计算，利用函数的周期性是解决本题的关键．