Question

5．如果双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 先设出双曲线右支任意一点坐标，根据到右焦点的距离和到中心的距离相等，利用两点间距离公式建立等式求得x，进而利用x的范围确定a和c的不等式关系，进而求得e的范围，同时根据双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2，最后综合求得答案．

解答 解：设双曲线右支任意一点坐标为（x，y）则x≥a，
∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，
由两点间距离公式：x²+y²=（x-c）²+y²得x=$\frac{c}{2}$，
∵x≥a，
∴$\frac{c}{2}$≥a，得e≥2，
又∵双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，
所以不能等于2．
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是求得a和c的不等式关系，考查了学生转化和化归的思想．