Question

7．在一个三角形ABC中，若sin²B+sin²C+$\frac{1}{2}$cos2A=$\frac{1}{2}$+sinBsinC，求A的角．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；

解答 解：∵sin²B+sin²C+$\frac{1}{2}$cos2A=$\frac{1}{2}$+sinBsinC，
∴sin²B+sin²C-sinBsinC=$\frac{1}{2}$（1-cos2A），
∴sin²B+sin²C-sinBsinC=sin²A，
利用正弦定理化简得：a²=b²+c²-bc，即b²+c²-a²=bc，
由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A为△ABC的内角，
∴A=$\frac{π}{3}$；

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．