Question

18．已知x满足不等式${log}_{\frac{1}{2}}$x²≥${log}_{\frac{1}{2}}$（3x-2），求函数f（x）=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 根据对数不等式求出x的取值范围，将f（x）转化为关于log₂x的二次函数，配方后可求得其最大值、最小值．

解答 解：∵${log}_{\frac{1}{2}}$x²≥${log}_{\frac{1}{2}}$（3x-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}＞0}\\{3x-2＞0}\\{{x}^{2}≤3x-2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{x＞\frac{2}{3}}\\{{x}^{2}-3x+2≤}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{x＞\frac{2}{3}}\\{1≤x≤2}\end{array}\right.$，解得1≤x≤2，则log₂x∈[0，1]，
f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•$lo{g}_{2}\frac{x}{4}$=（log₂x-1）（log₂x-2）=$（lo{g}_{2}x）^{2}-3lo{g}_{2}x+2$=$（lo{g}_{2}x-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$，
故当log₂x=0时，f（x）_max=2，
当log₂x=1时，f（x）_min=0．

点评 本题考查函数最值的求解，根据二次函数对数函数的性质，是解决本题的关键．考查学生的运算能力．