Question

18．化简：
（1）sinx+sin2x+sin3x+…+sinnx；
（2）cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx．

Answer 1

分析 （1）设S=sinx+sin2x+sin3x+…+sinnx，将式子乘两边乘以sin（$\frac{x}{2}$），利用积化和差公式分别化简，累加，然后和差化积，得到所求；
（2）方法相同．

解答 解：（1）设S=sinx+sin2x+sin3x+…+sinnx，
将式子乘两边乘以sin（$\frac{x}{2}$），
sinxsin（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$（cos（x+$\frac{x}{2}$）-cos（x-$\frac{x}{2}$））=$\frac{1}{2}$（cos$\frac{3}{2}$x-cos$\frac{1}{2}$x）
sin2xsin（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$（cos（2x+$\frac{x}{2}$）-cos（2x-$\frac{x}{2}$））=$\frac{1}{2}$（cos$\frac{5}{2}$x-cos$\frac{3}{2}$）
sin3xsin（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$（cos（3x+$\frac{x}{2}$）-cos（3x-$\frac{x}{2}$））=$\frac{1}{2}$（cos$\frac{7}{2}$x-cos$\frac{5}{2}x$）
…
sinnxsin（$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$（cos（nx+$\frac{x}{2}$）-cos（nx-$\frac{x}{2}$））=$\frac{1}{2}$（cos$\frac{2n+1}{2}x$-cos$\frac{2n-1}{2}x$）
以上各式相加得sin$\frac{x}{2}$S=$\frac{1}{2}$（cos$\frac{2n+1}{2}x$-cos$\frac{1}{2}x$），
所以原式=$\frac{cos（n+\frac{1}{2}）x-cos\frac{1}{2}x}{2sin\frac{x}{2}}$=$\frac{sin\frac{n+1}{2}xsin\frac{nx}{2}}{sin\frac{x}{2}}$
（2）设S=cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx，
将式子两边乘以sin$\frac{x}{2}$，
cosxsin$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$（sin$\frac{3}{2}x$-sin$\frac{x}{2}$）
cos2xsin$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$（sin$\frac{5}{2}x$-sin$\frac{3}{2}x$）
cos3xsin$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$（sin$\frac{7}{2}x$-$\frac{5}{2}x$）
…
cosnxsin$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{2}$（sin（n+$\frac{1}{2}$）x-sin（n-$\frac{1}{2}$）x）
以上各式相加得
sin$\frac{x}{2}$S=$\frac{1}{2}$（（sin（n+$\frac{1}{2}$）x-sin$\frac{x}{2}$））=-cos（$\frac{n+1}{2}$x）sin$\frac{nx}{2}$，
所以cosx+cos2x+cos3x+…+cosnx=-$\frac{cos（\frac{n+1}{2}x）sin\frac{n}{2}x}{sin\frac{x}{2}}$．

点评 本题考查了三角函数式的化简，用到了三角函数的和差化积公式．属于中档题．