Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1），}&{0＜x≤2}\\{1-{2}^{x}，}&{-2≤x≤0}\end{array}\right.$，若g（x）=|f（x）|-kx-k有3个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，$\frac{1}{2e}$）
• C． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{2e}$]
• D． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 由g（x）=|f（x）|-kx-k=0得|f（x）|=kx+k，设y=kx+k=k（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合，结合函数的切线关系进行求解即可．

解答 解：由g（x）=|f（x）|-kx-k=0得|f（x）|=kx+k，
设y=kx+k=k（x+1），则直线过定点（-1，0），
作出函数|f（x）|的图象如图：
当k≤0时，不满足条件．
当k＞0时，当直线设y=kx+k=k（x+1）经过点（2，ln3）时，此时两个函数有3个交点，
此时3k=ln3，则k=$\frac{ln3}{3}$，
当直线y=kx+k=k（x+1）与y=ln（x+1）相切时，有两个交点，
此时函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x+1}$，
设切点坐标为（a，b），则b=ln（a+1），切线斜率为f′（a）=$\frac{1}{a+1}$，
则切线方程为y-ln（a+1）=$\frac{1}{a+1}$（x-a），
即y=$\frac{1}{a+1}$（x-a）+ln（a+1）=$\frac{1}{a+1}$•x-$\frac{a}{a+1}$+ln（a+1）
∵y=kx+k，
∴k=$\frac{1}{a+1}$•且k=-$\frac{a}{a+1}$+ln（a+1）
即$\frac{1}{a+1}$=-$\frac{a}{a+1}$+ln（a+1），
即$\frac{1}{a+1}$+$\frac{a}{a+1}$=ln（a+1）=1，
则a+1=e，即a=e-1，
则k=$\frac{1}{a+1}$=$\frac{1}{e}$，
∴要使两个函数有3个交点，则$\frac{ln3}{3}$≤k＜$\frac{1}{e}$，
故选：D

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．注意要利用数形结合．