Question

5．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，E为线段A₁C上的动点，则满足ED⊥ED₁的点E的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 无数个

Answer 1

分析 以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，利用向量垂直的充要条件，判断满足条件的点E的个数，进而得到答案．

解答 解：以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系，

则D（0，2，0），D₁（0，2，3），
设A₁E=λA₁C，（0≤λ≤1），
则由A₁（0，0，3），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，2，-3）得：
$\overrightarrow{AE}$=（λ，2λ，3-3λ），
则$\overrightarrow{ED}$=（-λ，2-2λ，3λ-3），$\overrightarrow{{ED}_{1}}$=（-λ，2-2λ，3λ），
若ED⊥ED₁，则$\overrightarrow{ED}$⊥$\overrightarrow{{ED}_{1}}$，
即λ²+（2-2λ）²+3λ（3λ-3）=0，
即14λ²-17λ+4=0，
解得：λ=$\frac{17±\sqrt{65}}{28}$，
故存在两个满足条件的点，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，向量垂直的充要条件，难度中档．