Question

16．有下列四个命题：
p₁：?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
p₂：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最大值是9；
p₃：直线ax+y+2a-1=0过定点（0，-l）；
p₄：曲线y=4x-x³在点（-1，-3）处的切线方程是y=x-2
其中真命题是（　　）

• A． p₁，p₄
• B． p₁p₂
• C． p₂，p₄
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 p₁：?x=y∈R，sin（x-y）=sinx-siny成立，即可判断出正误；
p₂：利用基本不等式的性质即可判断出正误；
p₃：直线ax+y+2a-1=0化为a（x+2）+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得x，y，即可判断出直线经过的定点；
p₄：由曲线f（x）=y=4x-x³，f′（x）=4-3x²，可得f′（-1），即切线的斜率，进而得到的切线方程．

解答 解：p₁：?x=y∈R，sin（x-y）=sinx-siny成立，是真命题；
p₂：∵a＞0，b＞0，若a+b=1，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{4}{b}）$=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，当且仅当b=2a=$\frac{2}{3}$时取等号，因此$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值是9，是假命题；
p₃：直线ax+y+2a-1=0化为a（x+2）+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=1，因此直线过定点（-2，l），因此是假命题；
p₄：由曲线f（x）=y=4x-x³，f′（x）=4-3x²，可得f′（-1）=1，可得：曲线在点（-1，-3）处的切线方程是y+3=x+1，化为y=x-2，因此是真命题．
其中真命题是p₁，p₄．
故选：A．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、直线系的应用、基本不等式的性质、利用导数研究曲线的切线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．