Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=a，PA=PC=

2

a，
（1）求证：点A在PA为直径的圆上；
（2）若在这个四棱锥内放一球，求此球的最大半径．

Answer 1

考点：球的体积和表面积,棱锥的结构特征

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明PD⊥AD，可得点A在PA为直径的圆上；
（2）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，利用等体积，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD，
∴点A在PA为直径的圆上；
（2）解：设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．
V_P-ABCD=

1

3

•S_ABCD•PD=

1

3

•a•a•a=

1

3

a³，
S_△PAD=S_△PDC=

1

2

a²，
S_△PAB=S_△PBC=

1

2

•a•

2

a=

2

2

a2，
S_ABCD=a²．
V_P-ABCD=V_S-PDA+V_S-PDC+V_S-ABCD+V_S-PAB+V_S-PBC，

1

3

a³=

1

3

R（S_△PAD+S_△PDC+S_△PAB+S_△PBC+S_ABCD），
∴

R

3

(2+

2

)a2=

1

3

a³，
∴R=（1-

2

2

）a，
∴球的最大半径是（1-

2

2

）a．

点评：本题考查线面垂直的性质，考察体积的计算，考察学生分析解决问题的能力，属于中档题．