Question

如图，在正三角形ABC中，

内切圆半径

外接圆半径

=

OD

OA

=

OD

AD-OD

=

OD AD

1- OD AD

，而

OD

AD

=

S△OBC

S△ABC

=

1

3

，所以

内切圆半径

外接圆半径

=

1

2

．应用类比推理，在正四面体ABCD（每个面都是正三角形的四面体）中，

内切球的半径r

外接球的半径R

=

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：本题考查的知识点是类比推理，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内三角形的性质，我们可以推断四面体的相关性质．

解答： 解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：
由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；
由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；
由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；
或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，
故类比在正三角形ABC中，

内切圆半径

外接圆半径

=

OD

OA

=

OD

AD-OD

=

OD AD

1- OD AD

，而

OD

AD

=

S△OBC

S△ABC

=

1

3

，所以

内切圆半径

外接圆半径

=

1

2

．
可得：在正四面体ABCD（每个面都是正三角形的四面体）中，

内切球的半径r

外接球的半径R

=

OE

OA

=

OE

AE-OE

=

OE OA

1- OE OA

，而

OE

OA

=

VO-BCD

VA-BCD

=

1

4

，
所以

内切球的半径r

外接球的半径R

=

1

3

，
故答案为：

1

3

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．