Question

如图四棱锥P-ABCD的底面是梯形，BC∥AD，AB=BC=CD=1，AD=2，平面PAC⊥平面ABCD．
（1）求证：AP⊥CD；
（2）当PA=PC=

6

2

时，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）运用等腰梯形的知识可得CD⊥AC，再由面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直；
（2）由面面垂直的性质定理可得PM⊥平面ABCD，过D作DH⊥平面PBC，垂足为H，连接CH，则∠DCH即为直线PD与平面PBC所成角．再由V_P-BCD=V_D-PBC，运用三棱锥的体积公式计算即可得到DH，再解直角三角形即可得到正弦值．

解答： （1）证明：在等腰梯形ABCD中，由于AB在AD上的射影长为

1

2

，
则∠BAD=60°，即有∠D=60°，∠ABC=120°，
则∠ACB=30°，∠ACD=90°，
即有CD⊥AC，
由于平面PAC⊥平面ABCD，则CD⊥平面PAC，
则CD⊥AP；
（2）解：在三角形ABC中，AB=，BC=1，∠B=120°，
可得AC=

1+1+2×1×1× 1 2

=

3

，
取AC中点M，连接PM，由于PA=PC=

6

2

，则PM⊥AC，
即有PM=

6 4 - 3 4

=

3

2

，
由于平面PAC⊥平面ABCD，则有PM⊥平面ABCD，
PM⊥BM，则PB=

3 4 + 1 4

=1，
过D作DH⊥平面PBC，垂足为H，连接CH，则∠DCH即为直线PD与平面PBC所成角．
由V_P-BCD=V_D-PBC，即有

1

3

PM•S_△BCD=

1

3

DH•S_△PBC，
即为

3

2

×

1

2

×1×1×

3

2

=DH•

1

2

×

6

2

×

1- 6 16

，
解得，DH=

15

5

，
则有直线PD与平面PBC所成角的正弦值

DH

DC

=

15

5

．

点评：本题考查面面垂直的性质定理的运用，考查直线和平面所成的角的求法，考查体积法求点到平面的距离，考查运算能力，属于中档题．