Question

已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=|x﹣a|为偶函数，
∴对任意的实数x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，
∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立
∵x+a=a﹣x不能恒成立
∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．
（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，
等价于方程（x﹣a）²﹣a²x²=0在（0，+∞）上有两解，
即（a²﹣1）x²+2ax﹣a²=0在（0，+∞）上有两解，
令h（x）=（a²﹣1）x²+2ax﹣a²，
因为h（0）=﹣a²＜0，
所以 ，故0＜a＜1；
同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；
当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．
综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．
（3）令F（x）=f（x）·g（x）
①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x²﹣ax），
对称轴 ，函数在[1，2]上是增函数，
所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a²．
②当1＜a≤2时， ，
对称轴 ，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，
在[a，2]上是增函数，F（1）=a²﹣a，F（2）=4a﹣2a²，
1）若F（1）＜F（2），即 ，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a²；
2）若F（1）≥F（2），即 ，此时函数y=F（x）的最大值为a²﹣a．
③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x²﹣ax）
对称轴 ，此时 ，
④当a＞4时，对称轴 ，此时 ．
综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值