Question

（1）已知f(x)的定义域为(-

1

2

，

3

2

)，则f(cosx)的定义域为

 

．
（2）设f（2sinx-1）=cos²x，则f（x）的定义域为

 

．

Answer 1

分析：（1）由f(x)的定义域为(-

1

2

，

3

2

)，则f(cosx)的表达式要想有意义必须满足cosx∈(-

1

2

，

3

2

)，解三角不等式即可得到复合函数的定义域．
（2）由f（2sinx-1）=cos²x我们不难求出自变量位置上2sinx-1的取值范围，不难给出f（x）的定义域．

解答：解：（1）∵f(x)的定义域为(-

1

2

，

3

2

)，
∴要使f（cosx）的解析式有意义，须满足
-

1

2

＜cosx＜

3

2

即2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ-

π

6

，或2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

2π

3

，（k∈Z）
故f（cosx）的定义域为：（2kπ-

2π

3

，2kπ-

π

6

）∪（2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

2π

3

），（k∈Z）
（2）∵-3≤2sinx-1≤1
故f（x）的定义域为[-3，1]
故答案为：（2kπ-

2π

3

，2kπ-

π

6

）∪（2kπ+

π

6

＜x＜2kπ+

2π

3

），（k∈Z），[-3，1]

点评：求复合函数的定义域的关键是“以不变应万变”，即不管函数括号里的式子形式怎么变化，括号里式子的取值范围始终不发生变化．即：若f[g（x）]中若内函数的值域为A，则求f[u（x）]的定义域等价于解不等式u（x）∈A．