Question

（2012•门头沟区一模）已知函数f（x）=x³+ax²+bx-1在x=1处有极值-1．
（ I）求实数a，b的值；
（ II）求函数g（x）=ax+lnx的单调区间．

Answer 1

分析：（I）已知函数f（x）=x³+ax²+bx-1，对其进行求导，因为函数f（x）=x³+ax²+bx-1在x=1处有极值-1，可得f（1）=-1，f′（1）=0，从而求出a，b；
（ II）先求出函数的g（x）的定义域，对其进行求导，利用导数研究去单调区间，从而求解；

解答：解（ I）∵函数f（x）=x³+ax²+bx-1
求导，得 f'（x）=3x²+2ax+b…（2分）
由题意

f(1)=-1 f′(1)=0

，解得a=-2，b=1…（6分）
（ II）函数g（x）=ax+lnx的定义域是{x|x＞0}，…（9分）
g′(x)=-2+

1

x

…（11分）
解-2+

1

x

＞0且{x|x＞0}，得0＜x＜

1

2

，
所以函数g（x）在区间(0，

1

2

)上单调递增；…（12分）
解-2+

1

x

＜0得x＞

1

2

，
所以函数g（x）在区间(

1

2

，+∞)上单调递减．…（13分）

点评：此题主要考查函数在某点的极值，利用导数研究函数的单调性，这是高考必考的考点，此题是一道中档题；