Question

（2012•门头沟区一模）给出定义：若m-

1

2

≤x＜m+

1

2

（其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四个命题：
①函数f（x）的定义域为R，值域为[0，

1

2

]； ②函数f（x）是R上的增函数；
③函数f（x）是周期函数，最小正周期为1；  ④函数f（x）是偶函数，
其中正确的命题的个数是（　　）

Answer 1

分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；通过取特值的办法可判断②错误；再判断f（x+1）=f（x）是否成立，可以判断③的正误；通过判断f（-x）是否等于f（x），来判断④函数的奇偶性．

解答：解：①中，令x=m+a，a∈[-

1

2

，

1

2

）
∴f（x）=|[x]-x|=|m-（m+a）|=|a|∈[0，

1

2

]，
所以①正确；
②中，∵

1

4

∈[-

1

2

，

1

2

）-

1

4

∈[-

1

2

，

1

2

），且[

1

4

]=0，[-

1

4

]=-1
f（-

1

4

）=|[-

1

4

]+

1

4

|=

3

4

，f（

1

4

）=|[

1

4

]-

1

4

|=

1

4

，
不满足区间[-

1

2

，

1

2

）上单调递增，故②错误；
③中，∵f（x+1）=|[x+1]-（x+1）|=|[x]-x|=f（x）
所以周期为1，故③正确；
∵m-

1

2

≤x＜m+

1

2

（m∈Z），
∴-m-

1

2

＜-x≤-m+

1

2

（m∈Z）
∴f（-x）=|[-x]-（-x）|=|（-m）+x|=|x-m|，f（x）=|[x]-x|=|m-x|
∴f（-x）=f（x）
∴④正确
综上所述，①③④正确．
故选B．

点评：本题考查函数的周期性，我们要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，周期性和单调性的证明方法，对4个结论进行验证，属于难题．