Question

如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为．

（1）求证：三点的横坐标成等差数列；
（2）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程。

Answer 1

(1)根据已知条件设出点A,B的坐标，，然后借助于抛物线的导数来得到斜率值，．，进而解方程，得到证明。
(2)抛物线方程为或．

试题分析：（1）证明：由题意设．
由得，得，所以，．
因此直线的方程为，
直线的方程为．
所以，①  ．②
由①减②得，因此，即．
所以 三点的横坐标成等差数列．              6分
（2）由（1）知，当时，将其代入①、②并整理得：
，，
所以是方程的两根，
因此，，
又，所以．
由弦长公式得．
又，所以或，
因此所求抛物线方程为或．    12分
点评：解决的关键是利用直线与抛物线的相切得到切线的斜率，同时联立方程组求解弦长，属于中档题。