Question

已知函数（a∈R）．（1）试判断f（x）的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）为定义域上的奇函数，①求函数f（x）的值域；②求满足f（ax）＜f（2a﹣x²）的x的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）为定义域（﹣∞，+∞），且，任取x₁，x₂∈（﹣∞，+∞），且x₁＜x₂则∵y=2^x在R上单调递增，且x₁＜x₂

∴，，，，∴f（x₂）﹣f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调增函数．…（5分）（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即对任意实数x恒成立，化简得，∴2a﹣2=0，即a=1，…（8分）（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）①由a=1得，∵2^x+1＞1，∴，…（10分）∴，∴故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．…（12分）

②由a=1，得f（x）＜f（2﹣x²），∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴x＜2﹣x²，…（14分）解得﹣2＜x＜1，

故x的取值范围为（﹣2，1）．…（16分）