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设F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点.
(Ⅰ)若椭圆上的点A(1,
3
2
)到点F1、F2的距离之和等于4,求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点P是(Ⅰ)中所得椭圆C上的动点,求线段F1P的中点M的轨迹方程.
(Ⅰ)由椭圆上的点A到点F1、F2的距离之和是4,可得2a=4,即a=2.(1分)
又点A(1,
3
2
)在椭圆上,因此
1
22
+
(
3
2
)
2
b2
=1,解得b2=3,于是c2=1…(2分)
所以椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1…(3分)
(Ⅱ)设椭圆C上的动点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x,y).
由(Ⅰ)知,点F1的坐标为(-1,0),则x=
-1+x1
2
,y=
y1
2
,即x1=2x+1y1=2y…(5分)
因此
(2x+1)2
4
+
(2y)2
3
=1,即(x+
1
2
)2+
4y2
3
=1
为所求的轨迹方程…(6分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率e=
3
2
,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB斜倾角分别为α、β,则
cos(α-β)
cos(α+β)
=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b,b>0)和圆C2:x2+y2=b2,已知圆C2将椭圆Cl的长轴三等分,且圆C2的面积为π.椭圆Cl的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B,直线EA、EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P、M.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程;
(Ⅱ)(i)设PM的斜率为t,直线l斜率为K1,求
K1
t
的值;
(ii)求△EPM面积最大时直线l的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知平面内一动点P到点F(2,0)的距离比点P到y轴的距离大2,
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为2
2
的直线交轨迹C于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,P(x3,y3)(x3≥0)为轨迹C上一点,若
OP
=
OA
OB
,求λ的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上点M的横坐标为2,且|MF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F作两条相互垂直的直线,分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点,求四边形MPNQ面积的最小值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,
(Ⅰ)若过定点(-2,0)的直线l与圆C相切,求直线l的方程;
(Ⅱ)若过定点(-1,0)且倾斜角为
π
6
的直线l与圆C相交于A,B两点,求线段AB的中点P的坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C1的方程为
x2
4
+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+
2
与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足
OA
OB
<6(其中O为原点),求k的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

线段PQ是椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
过M(1,0)的一动弦,且直线PQ与直线x=4交于点S,则
|SM|
|SP|
+
|SM|
|SQ|
=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF1的中点,求证:∠ATM=∠AF1T.

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