Question

设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则

1

1+an

+

1

1+bn

的最小值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．1
• D．

  2

Answer 1

分析：将所求式变形，再利用基本不等式，即可求得最小值．

解答：解：

1

1+an

+

1

1+bn

=

an+bn+2

(1+an)(1+bn)

=1-

(ab)n-1

(1+an)(1+bn)

要使

1

1+an

+

1

1+bn

取得最小值，则

(ab)n-1

(1+an)(1+bn)

取得最大值
∵a、b为正实数，a+b=2，a+b≥2

ab

，∴0＜ab≤1
∵n为自然数，∴（ab）ⁿ-1≤1-1=0
当且仅当（ab）ⁿ=1时，（ab）ⁿ-1取得最大值0
∴a=b=1时，原式有最小值1．
故选C．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．