Question

已知：函数．
（1）若f（x）≥0恒成立，求参数t的取值范围；
（2）证明：．

Answer 1

（1）解：求导函数，可得
①当t＞1时，由f′（x）＜0，可得1＜x＜t，∴f（x）在（1，t）上递减，∴f（x）≤f（1）=0
∴f（x）≥0不恒成立；
②当-1＜t≤1时，由f′（x）≥0，可得x≥1，∴f（x）在[1，+∞）上递增，∴f（x）≥f（1）=0
∴f（x）≥0恒成立；
综上所述，参数t的取值范围为（-1，1]；
（2）证明：由（1）知，t=1时有f（x）≥0，即
∴当x＞1时，
令x=1+，∴=（k=1，2…，n）
将上述式子相加：
=
∴
∴
分析：（1）求导函数，①当t＞1时，由f′（x）＜0，可得f（x）在（1，t）上递减，f（x）≥0不恒成立；②当-1＜t≤1时，f（x）在[1，+∞）上递增，f（x）≥0恒成立，由此可求参数t的取值范围；
（2）由（1）知，t=1时有f（x）≥0，即，故当x＞1时，，令x=1+，可得=（k=1，2…，n），将上述式子相加，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确放缩是解题的关键．