Question

1．设函数y=f（x）的定义域为R，其图象关于点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）成中心对称，令a_k=f（$\frac{k}{n}$），（n是常数且 n≥2，n∈N^*），k=1，2，3，（n-1），…，求数列{a_k}的前（n-1）项的和．

Answer 1

分析 通过中心对称可知点（x，y）关于点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的对称点（1-x，1-y）也在函数图象上，进而计算可知a_k+a_n-k=1，利用倒序相加法计算即得结论．

解答 解：依题意，点（x，y）关于点（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）的对称点（1-x，1-y）也在函数图象上，
∴f（1-x）=1-y=1-f（x），即f（x）+f（1-x）=1，
∵a_k=f（$\frac{k}{n}$），
∴a_n-k=f（$\frac{n-k}{n}$），
∵$\frac{k}{n}$+$\frac{n-k}{n}$=1，
∴a_k+a_n-k=1，
∴所求值S=a₁+a₂+…+a_n-1=a_n-1+…+a₂+a₁，
∴S=$\frac{2S}{2}$
=$\frac{（{a}_{1}+{a}_{n-1}）+（{a}_{2}+{a}_{n-2}）+…+（{a}_{n-1}+{a}_{1}）}{2}$
=$\frac{n-1}{2}$．

点评 本题考查数列的求和，求出关系式a_k+a_n-k=1及利用倒序相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．