Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{2}$，2a_n=a_n-1+2n-1，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对2a_n=a_n-1+2n-1变形可知2[a_n-2（n-$\frac{3}{2}$）]=a_n-1-2（n-1-$\frac{3}{2}$）（n≥2），进而可知数列{a_n-2（n-$\frac{3}{2}$）}是以$\frac{5}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵2a_n=a_n-1+2n-1，
∴2[a_n-2（n-$\frac{3}{2}$）]=a_n-1-2（n-1-$\frac{3}{2}$）（n≥2），
又∵a₁=$\frac{3}{2}$，
∴a₁-2（1-$\frac{3}{2}$）=$\frac{5}{2}$，
∴数列{a_n-2（n-$\frac{3}{2}$）}是以$\frac{5}{2}$为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴a_n-2（n-$\frac{3}{2}$）=$\frac{5}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{5}{{2}^{n}}$，
∴a_n=2（n-$\frac{3}{2}$）+$\frac{5}{{2}^{n}}$=$\frac{5}{{2}^{n}}$+2n-3．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．