Question

20．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁，$\frac{1}{2}，3{a}_{2}$成等差数列，a₂，$\frac{1}{3}{a}_{3}$，a₆成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$，记S_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}+…\frac{1}{{b}_{n-1}{b}_{n}}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），运用等差数列和等比数列的性质，结合等比数列的通项公式，计算即可得到；
（2）化简b_n=log₃3ⁿ=n，$\frac{1}{{b}_{n-1}{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，运用裂项相消求和，化简即可得到．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
2a₁，$\frac{1}{2}，3{a}_{2}$成等差数列，可得
2a₁+3a₂=1，
即2a₁+3a₁q=1①
a₂，$\frac{1}{3}{a}_{3}$，a₆成等比数列，可得
a₂a₆=$\frac{1}{9}$a₃²，
即a₁q•a₁q⁵=$\frac{1}{9}$a₁²q⁴②
由①②解得a₁=q=$\frac{1}{3}$，
则a_n=a₁q^n-1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；
（2）b_n=log₃$\frac{1}{{a}_{n}}$=log₃3ⁿ=n，
即有$\frac{1}{{b}_{n-1}{b}_{n}}$=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
则S_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}+\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}+…\frac{1}{{b}_{n-1}{b}_{n}}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．