Question

8．数列{a_n}是等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₂=0，a₄=4．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（n）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}+4n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n（n∈N₊）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列的公差为d，运用通项公式，求得公差d，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用等差数列的求和公式化简b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由裂项相消求和，即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
由a₂=0，a₄=4．即有a₄-a₂=2d=4，
解得d=2，
可得a_n=a₂+（n-2）d=2n-4；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}+4n}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}n（2n-6）+4n}$
=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
则前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．