Question

19．在直角坐标在直角坐标系xOy中，直线C₁：x=2，圆C₂：（x-1）²+（y-2）²=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求C₁，C₂的极坐标方程；
（2）若直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），设C₂与C₃的交点为M，N，求△C₂MN的面积．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可把直角坐标方程化为极坐标方程；
（2）直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），可得直线方程为：y=x．利用点到直线的距离公式可得：圆心C₂（1，2）到直线的距离d，利用弦长公式|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．可得△C₂MN的面积S=$\frac{1}{2}d|MN|$．

解答 解：（1）直线C₁：x=2，可得极坐标方程：ρcosθ=2．
圆C₂：（x-1）²+（y-2）²=1，展开：x²+y²-2x-4y+4=0，可得极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．
（2）直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），可得直线方程为：y=x．
圆心C₂（1，2）到直线的距离d=$\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴△C₂MN的面积S=$\frac{1}{2}d|MN|$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{\sqrt{2}}×$$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．