Question

18．已知函数f（x）满足2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=t+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-2$\sqrt{x}$（t为常数）．
（1）求f（x）解析式；
（2）若在[1，4]上，y=f（x）的图象恒在y=log₂x的图象下方，试求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=t+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-2$\sqrt{x}$得2f（$\frac{1}{x}$）-f（x）=t+$\sqrt{x}$-2$\frac{1}{\sqrt{x}}$，从而解得；
（2）在[1，4]上，要使y=f（x）的图象恒在y=log₂x的图象下方，则只需在[1，4]上，f_max（x）＜y_min即可，从而化为函数的最值问题．

解答 解：（1）∵2f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=t+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-2$\sqrt{x}$，
∴2f（$\frac{1}{x}$）-f（x）=t+$\sqrt{x}$-2$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
∴3f（x）=3t-3$\sqrt{x}$，
∴f（x）=t-$\sqrt{x}$，
（2）在[1，4]上，要使y=f（x）的图象恒在y=log₂x的图象下方，
则只需在[1，4]上，f_max（x）＜y_min即可，
由（1）知，函数f（x）=t-$\sqrt{x}$在[1，4]上是减函数，
y=log₂x在[1，4]上是增函数，
∴f_max（x）=f（1）=t-1，y_min=y_x=1=0，
故t-1＜0，故t＜1．

点评 本题考查了函数的解析式的求法及最值问题的应用．