Question

8．抛物线y²=4x与过点A（-1，-6）的直线l交于P，Q两点，若以PQ为直径的圆过抛物线的顶点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 设点P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件，求得b=-4k，即有直线恒过定点（4，0），再由直线的点斜式方程，即可得到所求方程．

解答 解：设点P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
当直线l存在斜率时，设直线方程为y=kx+b，显然k≠0且b≠0．
联立方程得：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
则x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则y₁y₂=4•$\frac{b}{k}$，
又由题意可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
即$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{4b}{k}$=0，
解得b=0（舍去）或b=-4k，
故直线l的方程为：y=kx-k=k（x-4），
故直线l过定点（4，0），
又直线过点（-1，-6），
即有直线l的方程为y=$\frac{6}{5}$（x-4），
即为6x-5y-24=0．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，同时考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．