Question

19．在区间[1.5，3]上，函数f（x）=x²+bx+c与函数g（x）=x+$\frac{1}{x-1}$同时取到相同的最小值，则函数f（x）在区间[1.5，3]上的最大值为（　　）

• A． 8
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 由基本不等式求得g（x）的最小值，再由二次函数的最值的求法，注意对称轴和区间的关系，即可得到所求最大值．

解答 解：函数g（x）=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1
≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1=3，
当且仅当x=2时，取得最小值3，
由函数f（x）=x²+bx+c=（x+$\frac{b}{2}$）²+c-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
由题意可得-$\frac{b}{2}$=2，c-$\frac{{b}^{2}}{4}$=3，
解得b=-4，c=7，
f（x）=x²-4x+7在[1.5，3]的最大值为：
f（3）=9-12+7=4．
故选：D．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．