Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1-a_n-2n-2=0（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为a_n=n²+n．

Answer 1

分析 通过a_n+1-a_n-2n-2=0可知a_n+1-a_n=2（n+1），进而可知a_n-a_n-1=2n（n∈N^*），利用累加法计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1-a_n-2n-2=0（n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=2（n+1）（n∈N^*），
∴a_n-a_n-1=2n（n∈N^*），
∴a_n-1-a_n-2=2（n-1），a_n-2-a_n-3=2（n-2），…，a₂-a₁=2×2，
累加得：a_n-a₁=2（2+3+…+n）=$2•\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=（n-1）（n+2），
又∵a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）（n+2）=n²+n，
故答案为：n²+n．

点评 本题考查数列的通项，利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．