Question

9．根据下列各个数列{a_n}的首项和基本关系式，求其通项公式．
（1）a₁=1，a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2）；
（2）a₁=1，a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2）可知a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），进而利用累加法计算即得结论；
（2）通过对a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1（n≥2）变形可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$（n≥2），进而利用累乘法计算可得结论．

解答 解：（1）∵a_n=a_n-1+3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1（n≥2），
∴a_n-a_n-1=3^n-1，a_n-1-a_n-2=3^n-2，…，a₂-a₁=3¹，
累加得：a_n-a₁=$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-3}{2}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{{3}^{n}-3}{2}$+1=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$；
（2）∵a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n}$（n≥2），$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n-1}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{n}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，利用累加法、累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．