Question

18．数列{a_n}，{b_n}的通项分别为a_n=1n（1+$\frac{1}{n}$），b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$（n∈N^*），证明：a_n＞b_n．

Answer 1

分析 令f（x）=ln（1+x）-x+x²，（0≤x≤1），利用导数研究函数的单调性即可证明．

解答 解：令f（x）=ln（1+x）-x+x²，（0≤x≤1），
则f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1+2x=$\frac{2{x}^{2}+x}{1+x}$≥0，
∴函数f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
∴ln（1+x）≥x-x²，当且仅当x=0时取等号．
令x=$\frac{1}{n}$（n∈N^*），
则$ln（1+\frac{1}{n}）$＞$\frac{1}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}$，∵a_n=1n（1+$\frac{1}{n}$），b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{{n}^{2}}$（n∈N^*），
∴a_n＞b_n．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．