Question

19．若数列{a_n}，a₁=$\frac{2}{3}$，且a_n+1=a_n+$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$（n∈N），则通项a_n=$\frac{7}{6}-\frac{1}{n+1}$．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形裂项，然后利用累加法求得数列的通项公式．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{（n+2）（n+1）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
又a₁=$\frac{2}{3}$，
则a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}+…+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$
=$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{n+1}=\frac{7}{6}-\frac{1}{n+1}$．
故答案为：$\frac{7}{6}-\frac{1}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了裂项相消法及累加法求数列的通项公式，是中档题．