Question

7．己知函数f（x）=（a+1）lnx+x-$\frac{a}{x}$，其中a∈R．
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在[1，e]上存在x₀，使得f（x₀）＜0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的单调区间，通过讨论a的范围，确定函数的单调性；（Ⅱ）通过讨论a的范围，得到f（x）在[1，e]的单调性，求出[1，e]的最小值即可求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a+1}{x}$+1+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x+a）}{{x}^{2}}$，
①a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）递增；
②a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞-a，令f′（x）＜0，解得：x＜-a，
∴f（x）在（0，-a）递减，在（-a，+∞）递增；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得：-a≤1即a≥-1时：f（x）在[1，e]递增，
若在[1，e]上存在x₀，使得f（x₀）＜0成立，
只需f（1）=1-a＜0即可，解得：a＞1；
②若1＜-a＜e即-e＜a＜-1时：
f（x）在[1，-a）递减，在（-a，e]递增，
若在[1，e]上存在x₀，使得f（x₀）＜0成立，
只需f（-a）＜0即可，
即（a+1）ln（-a）+（-a）+1＜0，
即ln（-a）＞1-$\frac{2}{a+1}$，
而1＜-a＜e，则0＜ln（-a）＜1，1-$\frac{2}{a+1}$＞1，
∴ln（-a）＞1-$\frac{2}{a+1}$，无解；
③若-a≥e，即a≤-e时：f（x）在[1，e]递减，
若在[1，e]上存在x₀，使得f（x₀）＜0成立，
只需f（e）＜0即可，
即（a+1）+e-$\frac{a}{e}$＜0，解得：a＜-$\frac{e（e+1）}{e-1}$；
综上：a＞1或a＜-$\frac{e（e+1）}{e-1}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．