Question

12．定义$\sum_{i=1}^{n}$a_i=a₁+a₂+…+a_n，并设f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+\sqrt{a}}$，求$\sum _{j=1}^{2003}$f（$\frac{i}{2004}$）．

Answer 1

分析 计算f（x）+f（1-x）=1，设S=$\sum_{j=1}^{2003}$f（$\frac{j}{2004}$），运用倒序相加求和，即可得到所求值．

解答 解：f（x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+\sqrt{a}}$，
f（1-x）=$\frac{{a}^{1-x}}{{a}^{1-x}+\sqrt{a}}$=$\frac{a}{a+{a}^{x}\sqrt{a}}$=$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+{a}^{x}}$，
即有f（x）+f（1-x）=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{x}+\sqrt{a}}$+$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+{a}^{x}}$=1，
可设S=$\sum_{j=1}^{2003}$f（$\frac{j}{2004}$）=f（$\frac{1}{2004}$）+f（$\frac{2}{2004}$）+…+f（$\frac{2003}{2004}$），
又S=f（$\frac{2003}{2004}$）+f（$\frac{2002}{2004}$）+…+f（$\frac{2}{2004}$）+f（$\frac{1}{2004}$），
则2S=[f（$\frac{1}{2004}$）+f（$\frac{2003}{2004}$）]+[f（$\frac{2}{2004}$）+f（$\frac{2002}{2004}$）]+…+[f（$\frac{2003}{2004}$）+f（$\frac{1}{2004}$）]
=1+1+…+1=2003，
则S=$\frac{2003}{2}$．
即有$\sum_{j=1}^{2003}$f（$\frac{j}{2004}$）=$\frac{2003}{2}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查倒序相加求和的运用，考查运算能力，属于中档题．