Question

2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n}为等差数列．并写出a_n；
（2）若数列{$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n．问满足T_n＞$\frac{100}{209}$的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析 （1）通过a_n=S_n-S_n-1计算、整理可知a_n=a_n-1+2，进而可知数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论；
（2）通过（1）、裂项可知$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加可知T_n=$\frac{n}{2n+1}$，进而解不等式$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{100}{209}$、计算即得结论．

解答 （1）证明：∵S_n=na_n-n（n-1），
∴S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）（n≥2），
∴a_n=S_n-S_n-1
=[na_n-n（n-1）]-[（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）]
=na_n-（n-1）a_n-1+（n-1）（n-2）-n（n-1），
整理得：a_n=a_n-1+2，
又∵a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∴T_n＞$\frac{100}{209}$，即$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{100}{209}$，
解得：n＞$\frac{100}{9}$=11+$\frac{1}{9}$，
∴满足条件的最小正整数n是12．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．