Question

17£®ÉèF₁£¬F₂·Ö±ðÊÇÍÖÔ²C£º$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1£¨a£¾b£¾0£©µÄ×óÓÒ½¹µã£¬BΪ¶ÌÖáµÄÒ»¸ö¶Ëµã£¬ÇÒ¡÷F₁BF₂ÊDZ߳¤Îª2µÄµÈ±ßÈý½ÇÐΣ®
£¨1£©ÇóÍÖÔ²CµÄ±ê×¼·½³Ì£»
£¨2£©ÈôÍÖÔ²C³¤ÖáµÄÁ½¸ö¶ËµãΪM£¨-a£¬0£©£¬N£¨a£¬0£©£¬µãP£¨x₀£¬y₀£©Ê¹µÃÖ±ÏßPMÓëÖ±ÏßPNµÄбÂÊÖ®»ýΪ-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$£¬Ö¤Ã÷£ºµãPÔÚÍÖÔ²CÉÏ£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©Í¨¹ý¡÷F₁BF₂ÊDZ߳¤Îª2µÄµÈ±ßÈý½ÇÐοÉÖªc=|OF₂|=1£¬ÀûÓÃÍÖÔ²¶¨Òå¿ÉÖª2a=4£¬½ø¶ø¿ÉµÃ½áÂÛ£»
£¨2£©Í¨¹ýÉèM£¨-a£¬0£©¡¢N£¨a£¬0£©¡¢P£¨x₀£¬y₀£©£¬²¢±íʾ³öÖ±ÏßPM¡¢PNµÄбÂÊ£¬ÀûÓÃk_PM•k_PN=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$¼ÆËã¼´µÃ½áÂÛ£®

½â´ð £¨1£©½â£ºÓÉͼ¿ÉÖª£ºc=|OF₂|=1£¬2a=|BF₁|+|BF₂|=2+2=4£¬
¡àa=2£¬
¡àb²=a²-c²=3£¬
¡àÍÖÔ²CµÄ±ê×¼·½³ÌÊÇ£º$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$£»
£¨2£©Ö¤Ã÷£º¡ßM£¨-a£¬0£©¡¢N£¨a£¬0£©¡¢P£¨x₀£¬y₀£©£¬
¡àÖ±ÏßPM¡¢PNµÄбÂÊ·Ö±ðΪk_PM=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$£¬k_PN=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$£¬
ÓÖ¡ßÖ±ÏßPMÓëÖ±ÏßPNµÄбÂÊÖ®»ýΪ-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$£¬
¡àk_PM•k_PN=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$£¬
¡à$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1$£¬
¡àµãP£¨x₀£¬y₀£©ÔÚÍÖÔ²CÉÏ£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÍÖÔ²µÄ¼òµ¥ÐÔÖÊ£¬¿¼²éÊýÐνáºÏ£¬×¢Òâ½âÌâ·½·¨µÄ»ýÀÛ£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮