Question

8．已知圆C：x²+y²-4x+3=0，点P（a，a+1）（a∈R），过点P的直线与圆C有且只有一个公共点M，则PM的最小值为$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用圆的切线长定理，推出要|PM|最小，只需|PC|最小，即圆心C到直线l的距离最小，利用点到直线的距离公式可计算此距离，即可解得PM的最小值．

解答 解：圆C：x²+y²-4x+3=0，可化为圆C：（x-2）²+y²=1，点P满足x-y+1=0．
由题意l与圆C只一个交点，说明l是圆C的切线，由于|PM|²=|PC|²-|CM|²=|PC|²-1，所以要|PM|最小，只需|PC|最小，
即点C到l的距离$\frac{|2-0+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴|PM|的最小值为$\sqrt{\frac{9}{2}-1}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系，切线长定理，点到直线的距离公式，转化化归的思想方法，属基础题．