Question

6．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面△A₁B₁C₁是正三角形）内接于球O，AB₁与底面A₁B₁C₁所成的角是45°，若正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积是2$\sqrt{3}$cm³，则球O的表面积是（　　）

• A． $\frac{28π}{3}$cm²
• B． $\frac{14π}{3}$cm²
• C． $\frac{56π}{3}$cm²
• D． $\frac{7π}{3}$cm²

Answer 1

分析 利用AB₁与底面A₁B₁C₁所成的角是45°，若正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积是2$\sqrt{3}$cm³，求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底边长、高，进而求出底面△A₁B₁C₁的外接圆的半径，球O的半径，即可求出球O的表面积．

解答 解：设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底边长为a，则
∵AB₁与底面A₁B₁C₁所成的角是45°，
∴高为a，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积是2$\sqrt{3}$cm³，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}•{a}^{2}•a$=2$\sqrt{3}$，
∴a=2，
∴底面△A₁B₁C₁的外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴球O的半径为$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴球O的表面积是4πR²=$\frac{28π}{3}$cm²，
故选：A．

点评 本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，正确求出球O的半径是关键．