Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n∈N^*，n≥2），数列{b_n}满足关系式b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n∈N^*，n≥2）两边同时取倒数、整理得$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，进而可知数列{b_n}是以1为首项、2为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知b_n=2n-1，进而求倒数可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{2{a}_{n-1}+1}$（n∈N^*，n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{{a}_{n-1}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，即b_n=2+b_n-1（n≥2），
又∵a₁=1，
∴b₁=1，
∴数列{b_n}是以1为首项、2为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知b_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．