Question

15．求和：-$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 通过-$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算可知S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，进而计算可得结论．

解答 解：记S_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式错位相减得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$，
∴-$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$=-2+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{3}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$
=-2+2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
=-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．