Question

5．已知知函数f（x）=x³-ax²（其中a是实数），且f′（1）=0
（1）求a的值及曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程
（2）求f（x）≥kx-$\frac{1}{2}$在区间[0，2]上恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得导数，由条件可得a，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程；
（2）由题意可得k≤$\frac{{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}}{x}$=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，令g（x）=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，0＜x≤2，运用导数，判断单调性，求得极小值，也为最小值，即可得到k的范围和最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-ax²的导数为f′（x）=3x²-2ax，
由f′（1）=0，可得a=$\frac{3}{2}$；
曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为3×4-3×2=6，
切点为（2，2），
即有曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-2=6（x-2），
即为6x-y-10=0；
（2）f（x）≥kx-$\frac{1}{2}$在区间[0，2]上恒成立，
x=0时，f（0）=0＞-$\frac{1}{2}$，显然成立；
即有k≤$\frac{{x}^{3}-\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}}{x}$=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，
令g（x）=x²-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，0＜x≤2，
g′（x）=2x-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{4{x}^{3}-3{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（4{x}^{2}+x+1）}{2{x}^{2}}$，
由4x²+x+1＞0恒成立，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增，
即有x=1处取得极小值，也为最小值0，
则有k≤0，
则有k的最大值为0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数求最值，属于中档题．