Question

13．已知数列{a_n}满足a_n+1=ca_n²+1-c，n∈N^*，其中常数c∈（0，$\frac{1}{2}$）．
（1）若a₂＞a₁，求a₁的取值范围；
（2）若a₁∈（0，1），求证：对任意n∈N^*，都有a_n∈（0，1）；
（3）若a₁∈（0，1），设数列{a_n²}的前n项和为S_n，S_n＞n-$\frac{2}{1-2c}$．

Answer 1

分析 （1）令n=2，由a₂＞a₁，结合条件c∈（0，$\frac{1}{2}$），由二次不等式的解法即可得到；
（2）运用数学归纳法，结合不等式的性质，即可得证；
（3）先证n=1成立；再证当n≥2时，由a_n+1=ca_n²+1-c，可得a_n＞1-（2c）^n-1＞0，运用不等式的性质和等比数列的求和公式，即可得证．

解答 解：（1）由a_n+1=ca_n²+1-c，可得a₂=ca₁²+1-c，
由a₂＞a₁，可得（a₁-1）（a₁+1-$\frac{1}{c}$）＞0，
由c∈（0，$\frac{1}{2}$），可得$\frac{1}{c}$＞2，
则a₁＞$\frac{1}{c}$-1或a₁＜1；
（2）证明：对n∈N^*用数学归纳法证明a_n∈（0，1），
当n=1时，a₁∈（0，1）．假设a_k∈（0，1）（k≥1）
则a_k+1=ca_k²+1-c＜c+1-c=1，且a_k+1=ca_k²+1-c＞1-c＞0，
∴a_k+1∈（0，1），由数学归纳法知a_n∈（0，1）对所有n∈N^*成立；
（3）证明：由于0＜c＜$\frac{1}{2}$，
当n=1时，a₁²＞1-$\frac{2}{1-2c}$=$\frac{-1-2c}{1-2c}$，结论成立；
当n≥2时，a_n+1=ca_n²+1-c，即有1-a_n+1=c（1-a_n）（1+a_n）＜2c（1-a_n），
即1-a_n＜2c（1-a_n-1）＜…＜（2c）^n-1，
a_n＞1-（2c）^n-1＞0
∴a_n²＞（1-（2c）^n-1）²=1-2（2c）^n-1+（2c）^2（n-1）＞1-2（2c）^n-1
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=a₂²+…+a_n²＞n-1-2[2c+（2c）²+…+（2c）^n-1]
=n-1-2•$\frac{2c[1-（2c）^{n-1}]}{1-2c}$
=n-1-2•$\frac{2c-（2c）^{n}}{1-2c}$=n+1-2•$\frac{1-（2c）^{n}}{1-2c}$＞n+1-$\frac{2}{1-2c}$＞n-$\frac{2}{1-2c}$．
故S_n＞n-$\frac{2}{1-2c}$成立．

点评 本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用证明方法．